インフルエンザかどうかきちんと診断するには、診断キットと呼ばれるツールで検査する必要があると思います。
呼吸音や、咽喉の状態ではわからないでしょう。
インフルエンザ薬の処方を受けるなら、鑑別のための検査はぜひとも必要でしょうね。もっともハイリスク者への予防的投与という意図があったのかもしれませんが。

医療機関もいろいろありますから、そこでどういうことがなされているのかにはかなり差があると思います。
今回の病院の対応は、いささか「てきとー」で「理想的」とはいえないけれど、現状ではありえるパターンの範疇という気もします。

いずれにしても不信があるのなら、そういう病院は今後利用しないほうがよいでしょう。