おはようございます。

意識がない、ぐったりしている、水分が取れない、などなど、明らかにおかしいと親が感じる急を要する症状がでれば、救急で病院に走るべきだと思います。
ただ、救急車には限りがあるので、もし自分で走れる足があるなら、安易に呼ばず、もっと急を要する重篤患者さんに回さなくちゃ、という心構えも大切かと思います。
呼吸停止、心肺停止、吐血、痙攣、交通事故、など、一刻一秒を争う、重篤な患者さんの為にこそ、救急車を使ってもらいたいです。
救急車でなくとも、病院に先に電話していけば、それなりの対応をとってくれるところが多いと思います。

脳炎は、発熱が原因ではないので、熱が高い=すぐ病院へ!というのは避けたほうが良いと思います。
特に、インフルエンザ流行期は、医療機関も混乱してますので、本当の脳炎を発症している患者さんが、他の多くの重篤でない患者さんに埋もれてしまうのが一番怖いですよね。

平時から、かかりつけのお医者さんと、こうなったらこうするというようなシュミレーションをしておくのがよいかと思います。
解熱剤を処方しておいてもらって、発熱だけなら一晩様子を見れるように(乱用は問題ありますが)。
(夜間救急で走っても、発熱以外たいした所見が見られない場合、解熱剤を入れておしまい、ということも多いようですし、だったら、普段からよく知っている小児科医に処方してもらった方が良いと思います。)
持病があるなら、それについてもきちんと相談しておくことや、重症になった場合に、大きな病院へのかかり方、病院の紹介なんかも、聞いておくとあわてないかも。

お医者さんにかかる前に、親があわてず対処できるように、こういったHPや本、または信頼できる医師から、話しを聞いて勉強しておくことが大切ですよね。

平時から準備、勉強して極力呼ばないでおけるようにする、いざとなったら速やかに呼ぶ。
というのはいかがですか?