こんばんわ。
その場に立ち会っていないので、どちらがどうとは言えません。ただ、失礼を承知で書かせていただきますと、

お医者さんの求める情報を伝えられたでしょうか?
熱と体調不良でうろたえている様子を見透かして、「熱では死なない」と言ったのではないのでしょうか?

と、私はどうしても考えてしまうのです。

時間ごとの熱の変化(推移)や体調の記録・家庭での処置をメモしてお医者さんに渡すだけで、こういった事を避けられる可能性があると思うのです。

また、病院によって救急に小児科が当たっていないことが多いケースもあります。そうなると、下手に診て間違った診断を下したくない心理も働いて小児科が確実に開いている「外来で」となってしまうと思うのですが。