こんにちは。
長期のハワイ滞在、なんともうらやましいです。

> 七月までに、第一期を終わらせても、第二期が一年後なので、受けさせることができません。

まず「必要かどうか」に立ち返ってみてはいかがでしょうか。
厚生労働省のホームページを調べていくと、↓にたどり着きます。

「海外渡航と予防接種」
http://www.forth.go.jp/tourist/useful/02_tokou_yobou.html

下の方に、地域別にどの予防接種を受けておいた方がいいか、という一覧があります。これをみると、北アメリカでは、日本脳炎の予防接種は、滞在期間が短期・長期にかかわらず必要ないことが分かります。

米国疾病管理センター(CDC)にある情報でも、日本脳炎の予防接種にはあまり積極的ではないようです。

http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/jencephalitis/qa.htm (英文)

実際、どちらかというと、日本脳炎は副作用の可能性の高いワクチンです。
それでも、必要だと判断するのであれば、やはり、

> 保健所に直接聞いた方がいいのかもしれませんが、

だと思います。

私は、ずっと日本に住み続ける予定ですが、日本脳炎の予防接種は受けさせないと思います。