こんばんは。
息子さんがインフルエンザにかかられ、薬を服用されたのは、具体的にいつごろだったのでしょうか?

ある程度時間が経っているのであれば、もうあまり心配されなくてもいいように思います。
ここの掲示板でも指摘されている副作用は、割合に服用後すぐにあらわれているようです。医療関係者ではないので、はっきりとはいえませんが、服用時にそれほど問題がなければ、副作用は出なかったと考えてもいいのではないのでしょうか。

>今振り返ってみたら、飲ませていた時、変な奇声をあげたり、夜は興奮して寝つきが悪かったりしました。

この状況は、熱が上がった状態だったのでしょうか?下がった状態だったのでしょうか?
熱が上がっているときであれば、熱によるものであると考えられると思います。タミフルを服用するしないに関わらず、インフルエンザなどの高熱時には、よく見られる症状のようです。
なお、解熱後であれば、薬の影響であったかもしれませんが、ここで副作用であるかどうかは判断できるものではありませんので、ご心配であれば、診ていただいた医師にご相談なさるのが一番良いかと思います。

>又、どうして小児科の先生はタミフルを処方したのでしょうか?

確かに、タミフルは1歳未満の子供には安全性が確立していないことについてメーカー側が注意を促しています。
ただ、禁忌ではないので、処方するかどうかは現場の医師の判断に任されていると思います。
何故処方されたかについては、やはり、担当の医師に直接質問されてみるのがいいのではないでしょうか。

なお、過去のスレッドもご参考いただくといいと思います。

>No.701 : 1才未満の乳児がタミフルの服用について...　

http://www.kangaeroo.net/D-bbs-F-thread-threadno-701-no-701.html