> 夜半から朝方というより、朝起きて(目が覚めて、またはその直前に)咳が出るというのは生理的なものでしょうか?

んー。生理的といえる可能性があるとも思います。

1　就寝中は、鼻呼吸になっていますか?もしかしたら口呼吸ではないでしょうか。このようなケースでは朝起きたときにノドが乾燥して痛み、咳がでることが考えられます。
対策としては、マスクをして就寝させてみます。

2　朝、起きたばかりにということでイメージするのは脳圧です。起床時は脳圧が高い。
脳に病変があるようなときには、目覚め型の頭痛というのがあって、これは起床時に痛く、起きてしばらくすると痛まないというタイプになります。
ただ、咳につながるかといわれるとわかりません。脳に病変がなくても、朝方は脳圧が高いので、それにともなう過敏な神経反射というのもありなのかと思います。(これは可能性の推察です。あまり心配なさらないでください)

3　このタイプではアレルギーの可能性は少ないでしょう。もっと他に咳を誘発する条件があってよいはずです。