赤ちゃんに限らないのですが、プールの水を消毒する塩素で、発しんが出る人がいます。
　水道水などとは比べものにならない程、大量の塩素が入っています。これは不特定多数の人が利用するためで、今のところ塩素以外の消毒方法はコストがかかりすぎるのと、効果的な方法がないためだと思われます。
　ただ普段からあせもや湿疹があるとのことなので、今度プールにはいるときは、その前後の肌の様子を観察しておかれると良いと思いますよ。
　湿疹でもあせもでも、短時間でできることもあります。
　又、着ていた水着の繊維にかぶれる、ということもあります。
　いずれにしても、前後の様子をよく観察されて、異常があれば、小児科なり皮膚科又はアレルギー内科(小児アレルギー内科があればなお良いですが)等の診察を受けられたらいかがでしょうか?