こんにちは。
かなりの量‥というワケでは無いので参考になるか分かりませんが、うちの息子(2歳)も起床すると、布団に鼻血がついていることが頻繁にあります。(量は日によりマチマチです)
一時は、昼寝に鼻血&夜に鼻血と1日2回が3日ほど続いたので心配になり耳鼻科に行ったところ「鼻の入り口付近に傷があるから心配な鼻血ではない」と言われました。
この時期は、急な温度差で鼻血が出たりするし、ノボセたりしても出るし、(息子の場合うつ伏せで寝てることが多いので)寝てる間に鼻を布団に擦り付けて傷が治らないうちにまた出血‥という具合になってるのかも知れない‥とのことでした。

鼻血が心配なものかそうでないか分かれば安心だと思いますから、耳鼻科を受診してみてはいかがでしょうか。

（　 携帯からの投稿です　）