> 「自費でいいので、単独で」とお願いしてもいいものでしょう
> か?

麻しんや、風しんの単独の予防接種は、自費ですが、任意接種として受けることは可能です。
　ただ、万が一、健康被害が生じた際に支払われる補償額は、市町村のMRワクチンを勧奨接種で受けた後による場合の方が、任意接種を受けた後による場合より、約10倍程、高額です。

> また、かかりつけの小児科でだめだった場合、住居のある区役
> 所か保健所?に相談すればいいのでしょうか?

　今年(平成18年)6月に出された、「予防接種法施行令の一部を改正する政令の一部を改正する政令」及び「予防接種法施行規則及び予防接種実施規則の一部を改正する省令」の施行通知等には、「第3留意事項」の3項に、「…特に単抗原ワクチンの接種を希望する者に対して接種できる合理的な体制を確保すること…」と記載されています。
http://www.kanagawa.med.or.jp/news/18nendo/1806/185405.pdf

　この改正政令の解釈が市町村によって微妙に異なるようですが、「保護者が単独ワクチンの接種を希望している児は、麻しんワクチン接種や風しんワクチン接種を、単独で、受けることが出来る」のではないかと、市町村の担当者に相談されて見たら如何でしょうか?