くまげらさん、こんにちは。
うちの子供たちも、風邪などの治りかけのときに、目やにを出したことがありますよ。
病院でも、風邪などの感染症から来るものもあると言われました。

そして、そのときは小児科で目薬も処方してもらいましたし、耳鼻科でも、同様に処方してもらったことがあります。
なので、眼科にこだわらず、風邪などで先にかかっている病院で目やにのことを聞いてみてもいいと思いますよ。

なお、風邪のあとの目やには、我が家の場合は様子を見ていると、数日でおさまっていき、特に目薬が無くても治って行くようで、最近は特に目薬をもらってはいません。
くまげらさん同様、ぬらしたガーゼやティッシュなどで、目やにが乾く前に、拭いて取る程度です。