夜半から朝方に咳が多いのは、その時間に副交感神経が優位になり、気管支の状況が喘息が起こるときの状態に近づくためということも考えられます。
副交感神経とは、自律神経のひとつです。副交感神経が優位とは「リラックスモード　休養モード」というわけなのですが、咳のタイプによってはこのようなときによく出るものがあります。
深い考察をすれば、副交感神経優位によって咳がでることにも、体にとってよい意味があるのかもしれませんが、どうしても困るというのであれば試してみるべきアイディアがあります。

1　就寝前にミルクティー(紅茶)またはミルク煎茶をのませてみる(少しでよい)
カフェインは喘息の処置にも有効です。カフェインの薬理作用により交感神経優位になるからです。夜間早朝型咳(4時ごろがピーク)なら試す価値ありと思います。

2　就寝まえに指先の交互浴
小さな茶碗程度の入れ物に、水道の水と、入浴温度程度のお湯を準備して、指先だけ1分くらいごとに交互につけます。往復2回くらい。
小さな子供で、水浸しになってできないという場合には、水タオルとお湯タオルの2種を用意して、包んでしまうのもよいでしょう。要領は交互浴と一緒です。この方法も自律神経に作用します。

2-3日続けてみてください。期待する効果がみられるとよいですね。