> その後昼間の咳はなくなりましたが、朝の起床時だけ咳が残
> り、現在に至っています。

　朝、喉に痰がからんで、咳が続いているのではないでしょうか?
　アデノイド肥大や鼻炎があると、「後鼻漏」と言って、鼻腔の奥から、喉(咽頭や喉頭)の方に、痰様の鼻水が垂れて行って、咳が出ることがあります。 http://www.ahmic21.ne.jp/mimizuku/byouki/koubirou/koubirou.html

　後鼻漏には、朝、夜などに、嗽(塩水、緑茶など)をすると、有効な場合があります。

　ウイルスとしては、パラインフルエンザウイルスなどが、原因のことが多いと思われます。

> 昨日、鼻水が出るので咳の相談も兼ねて受診したところ、聴診
> では喘鳴は聞かれないとのことでした。

　喘息であれば、普通は、朝だけでなく、1日中、聴診で、ラ音などが、聞かれます。